Информация о задаче

Задача 102411

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Длины противоположных сторон AB и CD соответственно равны 9 и 4, AC = 7, BD = 8. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Обозначьте $\angle$ ABD = $\angle$ ACD = $\alpha$ , $\angle$ BAC = $\angle$ BDC = $\beta$ . Выразите из треугольников ABD и ACD квадрат их общей стороны BC и найдите cos $\alpha$ . Аналогично найдите cos $\beta$ .

Решение

Обозначим $\angle$ ABD = $\angle$ ACD = $\alpha$ , $\angle$ BAC = $\angle$ BDC = $\beta$ . По теореме косинусов из треугольников ABD и ACD

AD² = 9² + 8² - 2^.9^.8^.cos $\displaystyle \alpha$ = 145 - 144 cos $\displaystyle \alpha$ и

AD² = 7² + 4² - 2^.7^.4^.cos $\displaystyle \alpha$ = 65 - 56 cos $\displaystyle \alpha$ .

Из уравнения 145 - 144 cos $\alpha$ = 65 - 56 cos $\alpha$ находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{10}{11}}$ . Тогда sin $\alpha$ = $\sqrt{1-\cos^{2} \alpha}$ = ${\frac{\sqrt{21}}{11}}$ . Следовательно,

S_ABD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.BD^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.9^.8^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{21}}{11}}$ = $\displaystyle {\frac{36\sqrt{21}}{11}}$ .

По теореме косинусов из треугольников BAC и BDC

BC² = 9² + 7² - 2^.9^.7^.cos $\displaystyle \beta$ = 130 - 126 cos $\displaystyle \beta$ и

BC² = 8² + 4² - 2^.8^.4^.cos $\displaystyle \beta$ = 80 - 64 cos $\displaystyle \beta$ .

Из уравнения 130 - 126 cos $\beta$ = 80 - 64 cos $\beta$ находим, что cos $\beta$ = ${\frac{25}{31}}$ . Тогда sin $\beta$ = $\sqrt{1-\cos^{2} \beta}$ = ${\frac{4\sqrt{21}}{31}}$ . Следовательно,

S_BDС = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.BD^.CD^.sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.8^.4^. $\displaystyle {\frac{4\sqrt{21}}{31}}$ = $\displaystyle {\frac{64\sqrt{21}}{31}}$ .

Значит,

S_ABСD = S_ABD + S_BDC = $\displaystyle {\frac{36\sqrt{21}}{11}}$ + $\displaystyle {\frac{64\sqrt{21}}{31}}$ = $\displaystyle {\frac{1820\sqrt{21}}{341}}$ .

Ответ

${\frac{1820\sqrt{21}}{341}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3833