Информация о задаче

Задача 102413

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса 4 см с центром в точке O проведены два диаметра AB и CD так, что угол $\angle$ AOC = ${\frac{\pi}{9}}$ . Из точки M, лежащей на окружности и отличной от точек A, B, C и D, проведены к диаметрам AB и CD перпендикуляры MQ и MP соответственно (точка Q лежит на AB, а точка P на CD) так, что $\angle$ MPQ = ${\frac{2\pi}{9}}$ . Найдите площадь треугольника MPQ.

Подсказка

Докажите, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром OM. Если r — радиус этой окружности, то

S_MPQ = 2r²sin $\displaystyle \angle$ QMP sin $\displaystyle \angle$ MPQ sin $\displaystyle \angle$ MQP.

Решение

Докажем сначала, что площадь S треугольника можно вычислить по формуле:

S = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы треугольника, а R — радиус его описанной окружности.

Действительно, если b и c — стороны треугольника, противолежащие углам соответственно $\beta$ и $\gamma$ , то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.bc^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin $\displaystyle \beta$ ^.2R sin $\displaystyle \gamma$ ^.sin $\displaystyle \alpha$ = 2R²sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

что и требовалось доказать.

Из условия данной задачи следует, что из точек P и Q отрезок OM виден под прямым углом. Это значит, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром OM. Если r — радиус этой окружности, то r = ${\frac{1}{2}}$ OM = 2.

По теореме о вписанных углах, опирающихся на одну дугу

$\displaystyle \angle$ QMP = $\displaystyle \angle$ QOP = $\displaystyle \angle$ AOC = $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ ,

поэтому

$\displaystyle \angle$ MQP = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \angle$ QMP - $\displaystyle \angle$ MPQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ - $\displaystyle {\frac{2\pi}{9}}$ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ .

По ранее доказанному

S_MPQ = 2r²sin $\displaystyle \angle$ QMP sin $\displaystyle \angle$ MPQ sin $\displaystyle \angle$ MQP = 8 sin $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ sin $\displaystyle {\frac{2\pi}{9}}$ sin $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ sin $\displaystyle {\frac{\pi}{9}}$ sin $\displaystyle {\frac{2\pi}{9}}$ .

Ответ

S = 4 $\sqrt{3}$ sin ${\frac{\pi}{9}}$ sin ${\frac{2\pi}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3835