Информация о задаче

Задача 102415

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность $\gamma$ с центром в точке O вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны. Известно, что угол AOB втрое больше угла COD. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью $\gamma$ , и сравните с числом 510, если CD = 10.

Решение

Обозначим $\angle$ COD = $\alpha$ , $\angle$ AOB = 3 $\alpha$ . Пусть P — точка на дуге AB, не содержащей точки D, а Q — точка на дуге CD, не содержащей точки A. Поскольку угол между хордами AC и BD равен полусумме угловых величин дуг APB и CQD, то сумма угловых величин этих дуг равна 180^o. Поэтому $\alpha$ + 3 $\alpha$ = 180^o. Отсюда находим, что $\alpha$ = ${\frac{180^{\circ}}{4}}$ = 45^o. Значит, $\angle$ COD = $\alpha$ = 45^o.

Пусть R — радиус данной окружности. Из равнобедренного треугольника COD находим, что

R = OC = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}CD}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{\sin 22,5^{\circ}}}$ .

Пусть S — искомая площадь круга. Тогда

S = $\displaystyle \pi$ R² = $\displaystyle \pi$ ^. $\displaystyle {\frac{25}{\sin^{2} 22,5^{\circ}}}$ = $\displaystyle \pi$ ^. $\displaystyle {\frac{25}{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{50\pi}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{100\pi}{2-\sqrt{2}}}$ = 50 $\displaystyle \pi$ (2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Поскольку $\pi$ > 3 и $\sqrt{2}$ > 1, 4, то

50 $\displaystyle \pi$ (2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) > 150(2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) > 150(2 + 1, 4) = 150^.3, 4 = 510.

Ответ

$\pi$ ^.50(2 + $\sqrt{2}$ ) > 510.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3837