Информация о задаче

Задача 102417

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол $\angle$ B равен ${\frac{\pi}{6}}$ . Через точки A и B проведена окружность радиуса 2 см, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки B и C проведена окружность радиуса 3 см, касающаяся прямой AC в точке C. Найдите длину стороны AC.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой об угле между касательной и хордой, затем примените теорему синусов.

Решение

Пусть O₁ — центр окружности радиуса R₁ = 2, O₂ — центр окружности радиуса R₂ = 3. Обозначим $\angle$ ACB = $\alpha$ , $\angle$ BAC = $\beta$ . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle$ CO₂B = 2 $\alpha$ (или 180^o - 2 $\alpha$ ) и $\angle$ AO₁B = 2 $\beta$ (или 180^o - 2 $\beta$ ). Тогда

AB = 2R₁^.sin $\displaystyle \beta$ = 4 sin $\displaystyle \beta$ , BC = 2R₂^.sin $\displaystyle \alpha$ = 6 sin $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AB}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{\sin \beta}}$ , или $\displaystyle {\frac{4\sin \beta}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{6\sin \alpha}{\sin \beta}}$ .

Отсюда находим, что ${\frac{\sin^{2} \beta}{\sin^{2} \alpha}}$ = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Из равенства ${\frac{AC}{\sin \angle ABC}}$ = ${\frac{AB}{\sin \angle ACB}}$ следует, что

AC = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin \angle ACB}}$ ^.sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{4\sin \beta}{\sin \alpha}}$ ^.sin $\displaystyle {\frac{\pi}{6}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Ответ

$\sqrt{6}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3839