|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AL и BM. Затем провели прямую LM до пересечения с продолжением стороны AB.
Какое наибольшее количество пар подобных треугольников можно насчитать на этом чертеже, если на нём не образовалось ни одной пары равных треугольников?
Подсказка
Точки A, B, M и L лежат на одной окружности.
Решение
Прямоугольные треугольники CAL и CBL подобны по двум углам.
Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC.
Прямоугольные треугольники AMH и BLH подобны по двум углам.
Прямоугольные треугольники AMH и ALC подобны по двум углам.
Прямоугольные треугольники BLH и BMC подобны по двум углам.
Следовательно, подобны прямоугольные треугольники AMH и BMC, а также прямоугольные треугольники BLH и ALC.
Точки M и L лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно, треугольники MHL и AHB подобны по двум углам.
Треугольники CLM и CAB также подобны.
Пусть прямые AB и ML пересекаются в точке D. Аналогично предыдущему треугольники DBL и DMA подобны по двум углам.
Наконец, из равенства ∠BML = ∠BAL следует, что подобны треугольники DBM и DLA.
Ответ
10.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3842 |
