|
|
 |
Условие
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.
Подсказка
Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, а также что треугольники ABC и ADE подобны.
Решение
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BAC = ∠ECD и ∠BAD = ∠EDC. Поскольку луч AB лежит между сторонами угла CAD, то
∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = ∠ECD + ∠EDC = 180° – ∠CED. Следовательно, около четырёхугольника ADEC можно описать окружность.
Поэтому ∠BAC = ∠ECD = ∠EAD, ∠ACB = ∠AED. Следовательно,
треугольники ABC и ADE подобны по двум углам.
Значит, AE = AD·AC/AB = 24.
Ответ
24.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3847 |
