Информация о задаче

Задача 102433

Темы:	[	Диаметр, хорды и секущие	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длина стороны BC треугольника ABC равна 12 см. Около треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найдите длины сторон AB и AC треугольника, если известно, что радиус OA окружности делит сторону BC на два равных отрезка.

Подсказка

Радиус окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Решение

Пусть M — середина хорды BC. Поскольку BC = 12 > 10 = 2OC, то BC — не диаметр окружности. Известно, что радиус окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде, значит, OM — высота равнобедренного треугольника BOC.

Высота AM треугольника ABC является его медианой, поэтому треугольник ABC -- равнобедренный.

Из прямоугольного треугольника OMB находим, что

OM = $\displaystyle \sqrt{OB^{2}-BM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100-36}$ = $\displaystyle \sqrt{64}$ = 8.

Поэтому AM = OA - OM = 10 - 8 = 2. Следовательно,

AB = BC = $\displaystyle \sqrt{BM^{2}+AM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{36+4}$ = $\displaystyle \sqrt{40}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{10}$ .

Ответ

2 $\sqrt{10}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3856