Информация о задаче

Задача 102439

Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]
Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 3, AC = $\sqrt{13}$ и LK : KM = 1 : 3.

Подсказка

Докажите, что AD $\Vert$ BC. Обозначьте BC = x, выразите через x стороны трапеции ABCD и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно x.

Решение

Докажем, что BC $\Vert$ AD. Предположим, что это не так, и через точку B проведём прямую, параллельную AD (рис.1). Пусть эта прямая пересекается с прямой AC в точке P. Известно, что точка пересечения диагоналей и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой. Поэтому прямая MK пересекает отрезок BP в его середине L₁. Тогда отрезок LL₁ — средняя линия треугольника CBP. Значит, LL₁ $\Vert$ AC и LM $\Vert$ AC, а по условию LM и AC пересекаются в точке K. Противоречие получено. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями BC и AD.

Из подобия треугольников BLK и DMK (рис.2) следует, что BL : DM = KL : KM = 1 : 3, а т.к. точки L и M — середины оснований BC и AD, то BC : AD = 1 : 3.

Обозначим BC = x. Тогда AD = 3x. Поскольку в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е. BC + AD = AB + CD. Поэтому CD = BC + AD - AB = x + 3x - 3 = 4x - 3.

Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB. Пусть эта прямая пересекает основание AD в точке Q. Из теоремы косинусов для треугольников ADC и QDC следует, что

cos $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\frac{DA^{2}+DC^{2}-AC^{2}}{2\cdot DA\cdot DC}}$ = $\displaystyle {\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot 3x(4x-3)}}$ , и

cos $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\frac{DQ^{2}+DC^{2}-QC^{2}}{2\cdot DQ\cdot DC}}$ = $\displaystyle {\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot 2x(4x-3)}}$ .

Из уравнения

$\displaystyle {\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2\cdot 3x(4x-3)}}$ = $\displaystyle {\frac{4x^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2\cdot 2x(4x-3)}}$

находим, что x = 2 или x = ${\frac{2}{5}}$ , но при x = ${\frac{2}{5}}$ получим, что 4x - 3 < 0. Таким образом, BC = x = 2, QD = 2x = 4, CD = 4x - 3 = 5.

Поскольку QC² + QD² = 9 + 16 = 25 = DC², то треугольник CQD — прямоугольный, значит, CQ = 3 — высота трапеции. Следовательно, радиус вписанной в трапецию окружности равен ${\frac{3}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3862