Условие
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C – другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает сторону AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) Найдите отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.
б) Сравните площади треугольников ABC и ABF.
Подсказка
Треугольники ABD и BCD подобны с коэффициентом 5/9. Прямые FC и AB параллельны.
Решение
а) Обозначим ∠CBD = α, ∠ABD = β. По теореме об угле между касательной и хордой ∠BAD = α, ∠BCD = β. Поэтому треугольники ABD и BCD подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен AB/BC = 5/9. Поэтому AD = 5/9 BD и DC = 9/5 BD.
Значит, AD : DC = 25 : 81.
б) По теореме о внешнем угле треугольника ∠ADE = ∠ABD + ∠BAD = β + α и ∠CDE = ∠CBD + ∠BCD = α + β = ∠ADE.
Поэтому DE – биссектриса треугольника ADC. По свойству биссектрисы AE : EC = AD : DC = 25 : 81.
Поскольку ∠DFC = ∠DBC = ∠BAD, то FC || AB. Следовательно,
треугольники ABC и ABF равновелики.
Ответ
а) 25 : 81, б) одинаковы.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3870 |
