Информация о задаче

Задача 102452

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AC $\perp$ BD. Найдите длину BC, если расстояние от центра окружности до стороны AD равно 2.

Подсказка

Проведите диаметр BB₁. Тогда CB₁ = AD.

Решение

Пусть B₁ — точка, диаметрально противоположная точке B. Поскольку B₁D $\perp$ BD (BB₁ — диаметр окружности) и AC $\perp$ BD, то B₁D $\Vert$ AC. Поэтому CB₁ = AD, а т.к. равные хорды равноудалены от центра окружности, то расстояние OM от центра O окружности до хорды B₁C также равно 2.

Поскольку OM $\perp$ B₁C, BC $\perp$ B₁C и O — середина BB₁, то OM — средняя линия прямоугольного треугольника BCB₁. Следовательно, BC = 2^.OM = 2^.2 = 4.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3875