Информация о задаче

Задача 102453

Тема:

[

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Условие

В ромбе ABCD через точки A, B, C проведена окружность с центром в точке O₁, а через точки A, B, D проведена окружность с центром в точке O₂. Известно, что отношение длины отрезка O₁O₂ к длине отрезка AO₂ равно 4. Найдите величину угла DAO₂.

Подсказка

Составьте тригонометрическое уравнение относительно искомого угла.

Решение

Обозначим O₂A = O₂B = x, $\angle$ BAO₂ = $\angle$ ABO₂ = $\alpha$ . Пусть M — середина AB. Тогда точки O₁, O₂ и M лежат на серединном перпендикуляре к общей хорде AB, $\angle$ AO₁M = $\angle$ BO₁M = $\alpha$ .

Из прямоугольных треугольников MO₂A и MO₁A находим, что

AM = AO₂cos $\displaystyle \angle$ MAO₂ = x cos $\displaystyle \alpha$ , MO₂ = AO₂sin $\displaystyle \angle$ MAO₂ = x sin $\displaystyle \alpha$ ,

MO₁ = AMctg $\displaystyle \angle$ AO₁M = x cos $\displaystyle \alpha$ ^.ctg $\displaystyle \alpha$ .

Поскольку MO₁ = O₂M + O₁O₂, имеем уравнение

x cos $\displaystyle \alpha$ ^.ctg $\displaystyle \alpha$ = x sin $\displaystyle \alpha$ + 4x, или 2 sin² $\displaystyle \alpha$ + 4 sin $\displaystyle \alpha$ - 1 = 0,

откуда находим, что sin $\alpha$ = ${\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$ .

Ответ

arcsin ${\frac{\sqrt{6}-2}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3876