Информация о задаче

Задача 102454

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырёхугольника NBMD, если основание AC = 1.

Подсказка

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, то его медианы, проведённые к боковым сторонам, равны, т.е. AM = CN.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому CD = ${\frac{2}{3}}$ ^.CN = ${\frac{2}{3}}$ ^.AM = AD.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC находим, что CD = AC cos 45^o = ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Тогда

DM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$ .

Из прямоугольного треугольника MDC находим, что

CM = $\displaystyle \sqrt{CD^{2}+DM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{8}}$ .

Значит, BC = 2^.CM = 2 $\sqrt{\frac{5}{8}}$ = $\sqrt{\frac{5}{2}}$ .

Пусть BH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина AC. Из прямоугольного треугольника BHC находим, что

BH = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}-CH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Следовательно,

tg $\displaystyle \angle$ BAC = tg $\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle {\frac{BH}{CH}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}}$ = 3.

Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC, то MN = ${\frac{1}{2}}$ ^.AC = ${\frac{1}{2}}$ и MN $\Vert$ AC. Поэтому MN $\perp$ BH.

Диагонали MN = ${\frac{1}{2}}$ и BD = ${\frac{2}{3}}$ ^.BH = 1 четырёхугольника NBMD перпендикулярны, следовательно,

S_NBMD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.NM^.BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Ответ

$\angle$ A = $\angle$ C = arctg3; $\angle$ B = $\pi$ - 2arctg3; ${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3877