Информация о задаче

Задача 102455

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса $\sqrt{7}$ вписана трапеция с меньшим основанием 4. Через точку на этой окружности, касательная в которой параллельна одной из боковых сторон трапеции, проведена параллельная основаниям трапеции хорда окружности длины 5. Найдите длину диагонали трапеции и площадь трапеции.

Подсказка

Докажите, что хорда из условия задачи и диагональ трапеции стягивают равные дуги и, следовательно, равны. С помощью теорем синусов и косинусов составьте тригонометрическое уравнение относительно угла между диагональю и основанием трапеции.

Решение

Пусть ABCD — данная трапеция с меньшим основанием BC = 4, M — данная точка на меньшей дуге AB, причём касательная к описанной окружности радиуса R = $\sqrt{7}$ , проведённая в этой точке, параллельна боковой стороне AB. Ясно, что M — середина дуги AB.

Вписанная в окружность трапеция — равнобедренная. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям трапеции, пересекает меньшую дугу CD в её середине N.

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому меньшая дуга CD равна меньшей дуге AB, значит, равны и половины этих дуг, т.е. меньшие дуги AM и CN. Отсюда следует, что хорды AC и MN равны, т.к. они стягивают равные дуги AMBC и MBCN. Таким образом, диагональ AC равна 5.

Обозначим $\angle$ ACB = $\angle$ CAD = $\varphi$ . Тогда AB = CD = 2R sin $\varphi$ = 2 $\sqrt{7}$ sin $\varphi$ . По теореме косинусов

AB² = BC² + CA² - 2^.BC^.CA^.cos $\displaystyle \angle$ ACB, или 28 sin² $\displaystyle \varphi$ = 16 + 25 - 2^.4^.5^.cos $\displaystyle \varphi$ .

Из этого уравнения находим, что cos $\varphi$ = ${\frac{13}{14}}$ или cos $\varphi$ = ${\frac{1}{2}}$ .

Рассмотрим первый случай.

Пусть CH — высота трапеции. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH = AC^.cos $\displaystyle \varphi$ = 5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{14}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{65}{14}}$ , CH = AC^.sin $\displaystyle \varphi$ = 5^. $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{14}}$ = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{3}}{14}}$ .

Поскольку трапеция — равнобедренная, то отрезок AH (проекция диагонали трапеции на большее основание) равен средней линии трапеции. Следовательно,

S_ABCD = AH^.CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{65}{14}}$ ^. $\displaystyle {\frac{15\sqrt{3}}{14}}$ = $\displaystyle {\frac{975\sqrt{3}}{196}}$ .

Во втором случае AH = 5^. ${\frac{1}{2}}$ = ${\frac{5}{2}}$ < 4, что невозможно, т.к. средняя линия не может быть меньше, чем меньшее основание трапеции.

Ответ

5; ${\frac{975\sqrt{3}}{196}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3878