Информация о задаче

Задача 102463

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Найдите угол BCA, если известно, что FH : HE = 2 : 3.

Подсказка

Выразите через искомый угол углы тругольника FGH и примените теорему синусов. Рассмотрите оба случая возможного расположения точки H — на отрезке BE и на отрезке AE.

Решение

Поскольку F — середина BC, а D — середина AC, то FD — средняя линия треугольника ABC. Поэтому DF $\Vert$ AB. Значит, треугольник AFD — также равнобедренный.

Пусть точка H лежит на отрезке BE. Обозначим $\angle$ BAC = $\angle$ ACB = $\alpha$ , FH = 2x, HE = 3x. Если O — центр окружности, то

$\displaystyle \angle$ AFD = 180^o - 2 $\displaystyle \angle$ DAF = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DOE = 180^o - $\displaystyle \angle$ CAB = 180^o - $\displaystyle \alpha$ ,

$\displaystyle \angle$ DGE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ DOE = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ FEG = $\displaystyle \angle$ DGE - $\displaystyle \angle$ EFG = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - 180^o + 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{3\alpha}{2}}$ - 90^o.

Треугольник EGH — равнобедренный, поэтому GH = EH = 3x и

$\displaystyle \angle$ GEH = $\displaystyle \angle$ EGH = $\displaystyle {\frac{3\alpha}{2}}$ - 90^o.

Угол GHF — внешний угол треугольника EGH, поэтому

$\displaystyle \angle$ GHF = 2 $\displaystyle \angle$ GEH = 3 $\displaystyle \alpha$ - 180^o.

Тогда

$\displaystyle \angle$ FGH = 180^o - $\displaystyle \angle$ GHF - $\displaystyle \angle$ GFH = 180^o - 3 $\displaystyle \alpha$ + 180^o - 180^o + 2 $\displaystyle \alpha$ = 180^o - $\displaystyle \alpha$ .

По теореме синусов для треугльника FGH:

$\displaystyle {\frac{GH}{\sin \angle GFH}}$ = $\displaystyle {\frac{FH}{\sin \angle FGH}}$ , или $\displaystyle {\frac{3x}{\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2x}{\sin \alpha}}$ .

Из этого уравнения находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{3}{4}}$ .

Если точка H лежит на отрезке AE, то, рассуждая аналогично, придём к такому же результату.

Ответ

arccos ${\frac{3}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3886