Информация о задаче

Задача 102493

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

Подсказка

Если M — точка касания вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, а O — центр этой окружности, то OM = AM^.tg ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ BAC.

Решение

Пусть окружность с центром O вписана в равнобедренный треугольник ABC, боковые стороны которого AB = BC = 20, а диаметр d описанной окружности равен 25, M — точка касания вписанной окружности с основанием AC.

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то точка O лежит на его биссектрисе BM, которая является также высотой и медианой. Поэтому OM — искомый радиус вписанной окружности.

Обозначим, $\angle$ BAC = $\angle$ ACB = $\alpha$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{BC}{d}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{20}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ ,

а т.к. треугольник равнобедренный, то угол при его основании — острый, поэтому

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1-\sin^{2} \alpha}$ = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{16}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Из уравнения

$\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1-{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+{\rm tg }^{2} \frac{\alpha}{2}}}$

находим, что tg ${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{1}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

AM = AB^.cos $\displaystyle \alpha$ = 20^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = 12.

Поскольку AO — биссектриса треугольника AMB, то

OM = AM^.tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 12^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3916