|
|
 |
Условие
На сторонах острого угла с вершиной O взяты точки A и B. На луче OB взята точка M на расстоянии 3OA от прямой OA, а на луче OA – точка N на расстоянии 3OB от прямой OB. Радиус описанной окружности треугольника AOB равен 3. Найдите MN.
Подсказка
Из подобия треугольников AOB и NOM следует, что ∠ONM = ∠OBA и ∠OMN = ∠OAB.
Решение
Пусть M1 и N1 – проекции точек M и N на прямые OA и OB соответственно, R = 3 – радиус указанной окружности. Из условия следует, что MM1 = 3OA,
NN1 = 3OB.
Прямоугольные треугольники ONN1 и OMM1 c общим углом при вершине O подобны, поэтому ON : OM = NN1 : MM1 = a : b = OB : OA.
Значит, треугольники AOB и MON подобны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ∠ONM = ∠OBA.
Обозначим MN = x. Из прямоугольного треугольника NM1M находим, что 3OA/MN = MM1/MN = sin∠ONM = sin∠OBA = OA/2R = OA/6.
Следовательно, MN = 18.
Ответ
18.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3920 |
