Информация о задаче

Задача 102694

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD точка M лежит на стороне BC, а точка N — на стороне AB. Прямые AM и DN пересекаются в точке O.Найдите площадь квадрата, если известно, что DN = 4, AM = 3, а косинус угла DOA равен q.

Подсказка

Обозначьте

$\displaystyle \angle$ AOD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ DAM = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ ADN = $\displaystyle \gamma$

и составьте тригонометрическое уравнение относительно $\gamma$ .

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Обозначим,

$\displaystyle \angle$ AOD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ DAM = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ ADN = $\displaystyle \gamma$ .

Из прямоугольных треугольников ABM и DAN находим, что

sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{AB}{AM}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{3}}$ , cos $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{AD}{DN}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ .

Отсюда следует, что

4 cos $\displaystyle \gamma$ = 3 sin $\displaystyle \beta$ = 3 sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \gamma$ ) = 3 sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) = 3 sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + 3 cos $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ .

Разделив на cos $\gamma$ обе части уравнения

4 cos $\displaystyle \gamma$ = 3 sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + 3 cos $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ ,

получим, что

3 sin $\displaystyle \alpha$ + 3 cos $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \gamma$ = 4,

откуда

tg $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{4-3\sin \alpha}{3\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{4-3\sqrt{1-q^{2}}}{3q}}$ .

Тогда

cos² $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{1}{1+{\rm tg }^{2} \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{9q^{2}}{9q^{2}+16-24\sqrt{1-q^{2}}+9(1-q^{2})}}$ = $\displaystyle {\frac{9q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = a² = (4 cos $\displaystyle \gamma$ )² = $\displaystyle {\frac{144q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$ .

Ответ

${\frac{144q^{2}}{25-24\sqrt{1-q^{2}}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4133