ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102706
Темы:    [ Метод координат на плоскости ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.


Подсказка

Вычислите стороны данного треугольника и примените теорему, обратную теореме Пифагора (или вычислите скалярное произведение векторов $ \overrightarrow{AB} $ и $ \overrightarrow{AC}$).


Решение

Первый способ.

По формуле для расстояния между двумя точками находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{(6-2)^{2} + (-4-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16+64}$ = $\displaystyle \sqrt{80}$

AC = $\displaystyle \sqrt{(-8-2)^{2} + (-1-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100+25}$ = $\displaystyle \sqrt{125}$

BC = $\displaystyle \sqrt{(-8-6)^{2} + (-1+4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{196+9}$ = $\displaystyle \sqrt{205}$.

Поскольку AB2 + AC2 = 80 + 125 = 205 = BC2, то треугольник ABC — прямоугольный.

Второй способ.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6-2;-4-4)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-8)}$$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-2;-1-4)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(-10;-5)}$

$\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-6;-1+4)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(-14;3)}$,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ . $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = 4 . (- 10) + (- 8) . (- 5) = - 40 + 40 = 0,

то $ \overrightarrow{AB} $ $ \perp$ $ \overrightarrow{AC}$. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4212

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .