Информация о задаче

Задача 102706

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Подсказка

Вычислите стороны данного треугольника и примените теорему, обратную теореме Пифагора (или вычислите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ ).

Решение

Первый способ.

По формуле для расстояния между двумя точками находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{(6-2)^{2} + (-4-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16+64}$ = $\displaystyle \sqrt{80}$ ,

AC = $\displaystyle \sqrt{(-8-2)^{2} + (-1-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100+25}$ = $\displaystyle \sqrt{125}$ ,

BC = $\displaystyle \sqrt{(-8-6)^{2} + (-1+4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{196+9}$ = $\displaystyle \sqrt{205}$ .

Поскольку AB² + AC² = 80 + 125 = 205 = BC², то треугольник ABC — прямоугольный.

Второй способ.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6-2;-4-4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-8)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-2;-1-4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-10;-5)}$ ,

$\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-6;-1+4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-14;3)}$ ,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = 4^.(- 10) + (- 8)^.(- 5) = - 40 + 40 = 0,

то $\overrightarrow{AB}$ $\perp$ $\overrightarrow{AC}$ . Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4212