Задача 103739

Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KMXY. Докажите, что середины отрезков AK, BM, CX и DY также являются вершинами квадрата.

Подсказка

Строгого решения этой задачи не требуется. Достаточно интуитивного обоснования. Рассмотрите сначала более простой случай, когда центры квадратов совпадают. Затем вырежьте меньший квадрат из картона и подвигайте его внутри большого квадрата, следя за перемещениями середин интересующих нас отрезков.

Решение

Если маленький квадрат сдвинуть (без вращения) так, чтобы его центр совпал с центром большого квадрата, то середины всех четырёх отрезков AK, BM, CX и DY сдвинутся (одинаково!) на половину длины сдвига маленького квадрата. Поэтому, если они стали вершинами некоторого квадрата, то и до сдвига они были вершинами некоторого квадрата. Осталось заметить, что если центры квадратов совпадают, то вся ''картинка'' переходит в себя при поворотах на 90^o, 180^o и 270^o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1990
класс
	1
Класс	6,7
задача
Номер	6