Задача 103857
|
|
 |
Условие
В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу.(Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)
Подсказка
Возьмите вершину, в которой стоит наименьшее из этих чисел, и посмотрите на соседние вершины.
Решение
Обозначим числа, стоящие в вершинах A, B, C, D, E, F и H куба, соответствующими маленькими латинскими буквами: a, b, c, d, e, f, g и h. Возьмём одну из вершин, в которой стоит наименьшее число. Без ограничения общности это вершина A и в ней стоит число a. (оно находится в вершине A). Тогда для значений чисел b, d и e, стоящих в соседних с A вершинах B, D и E, остаётся только две возможности a и a + 1. Значит, какие-нибудь два из чисел b, d и e равны. Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи рассматриваются аналогично). В этом случае искомыми будут диаметрально противоположные вершины E и C: e = b, а числа c и b отличаются не более чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более чем на 1.
