ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103857
Тема:    [ Принцип крайнего ]
Сложность: 4
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В вершинах куба ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу.

(Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)


Подсказка

Возьмите вершину, в которой стоит наименьшее из этих чисел, и посмотрите на соседние вершины.


Решение

Обозначим числа, стоящие в вершинах A, B, C, D, E, F и H куба, соответствующими маленькими латинскими буквами: a, b, c, d, e, f, g и h. Возьмём одну из вершин, в которой стоит наименьшее число. Без ограничения общности это вершина A и в ней стоит число a. (оно находится в вершине A). Тогда для значений чисел b, d и e, стоящих в соседних с A вершинах B, D и E, остаётся только две возможности a и a + 1. Значит, какие-нибудь два из чисел b, d и e равны. Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи рассматриваются аналогично). В этом случае искомыми будут диаметрально противоположные вершины E и C: e = b, а числа c и b отличаются не более чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более чем на 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
1
Год 2000
класс
1
Класс 7
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .