Задача 103916

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Мякишев А.Г.

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.

Решение

  Пусть O₁ – середина AC, а O₂ – середина BD. Заметим, что точка M – середина отрезка O₁O₂ (M – центр масс системы 1A, 1B, 1C, 1D. Рассмотрим подсистемы 1A, 1C и 1B, 1D , которые эквивалентны подсистемам 2O₁, 2O₂).
  Четырёхугольник H₁H₂H₃H₄, образованный ортоцентрами, есть параллелограмм, стороны которого лежат на перпендикулярах, проведённых из вершин четырёхугольника к соответствующим диагоналям. Поэтому H – точка пересечения диагоналей этого параллелограмма и делит их пополам (см. рис.).

  Рассмотрим прямую l, перпендикулярную диагонали BD и проходящую через H. Пусть она пересекает отрезок AH₄ в точке K. Тогда HK – средняя линия треугольника AH₃H₄ и потому K – середина AH₄. Следовательно, l содержит среднюю линию треугольника AH₄C, и потому проходит через O₁. Значит,  HO₁ || OO₂.
  Аналогично  HO₂ || OO₁,  то есть HO₁OO₂ – параллелограмм, причём M – точка пересечения его диагоналей, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	9
Задача
Номер	4