Задача 104006

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Куб ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9,10

Условие

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

Решение

а) Можно составить прямоугольник 33×32 из 9 попарно различных квадратов так, как показано на рисунке.

Замечание. Из меньшего числа попарно различных квадратов составить прямоугольник нельзя, но можно это сделать из любого числа квадратов, большего 9. Для этого достаточно приставить квадрат к стороне имеющегося прямоугольника, составленного из n квадратов.
б) Докажем от противного, что Кай не сможет заполнить аквариум. Пусть наш аквариум — параллелепипед P сложен из попарно различных неперекрывающихся кубов P₁, P₂, ..., P_n, грани которых, очевидно, параллельны краням параллелепипеда P. Пусть P₁ — наименьший куб из числа примыкающих к границе P и пусть μ — грань параллелепипеда P, к которой примыкает P₁ (или одна из граней P). Основания кубов, примыкающих к μ, суть неперекрывающиеся попарно неравные квадраты, из которых составлен прямоугольник μ. Среди них основание P₁ есть наименьший квадрат и потому не примыкает к границе μ (проверьте!). Поскольку кубы, примыкающие к μ, по условию все превосходят P₁, над P₁ образуется объемный "колодец" с основанием μ₁ — гранью куба P₁.
Рассмотрим теперь все кубы, примыкающие к P₁. Пусть P₂ — наименьший из них. Основания этих кубов суть квадраты попарно неравные, неперекрывающиеся и составляющие прямоугольник (и даже квадрат) μ₁. Поскольку грань куба P₂ — наименьший из квадратов, он не примыкает к границе μ. Следовательно, все соседние с P₂ кубы, примыкающие к его основанию, сами имеют основания на μ₁, и потому над P₂, в свою очередь, образуется объемный "колодец". Продолжая тот же процесс и замечая, что всякий раз наименьший из кубов, закрывающий основание очередного колодца, не примыкает к границе этого колодца, мы выделим бесконечную последовательность уменьшающихся кубов P₁, P₂, ..., P_n, ..., что противоречит предположению о конечности числа кубов.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Номер	5
Название	Разрезания
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
задача
Номер	6