|
|
 |
Условие
Сравните без помощи калькулятора числа $\sqrt{2006} + \sqrt{2005+\sqrt{2006}}$ и $\sqrt{2005} + \sqrt{2006+\sqrt{2005}}$.
Решение 1
Рассмотрим разность между данными числами: $$\sqrt{2006}+\sqrt{2005+\sqrt{2006}} - \left(\sqrt{2005}+\sqrt{2006+\sqrt{2005}} \right) = $$ $$= \left(\sqrt{2006} - \sqrt{2005} \right) + \left(\sqrt{2005+\sqrt{2006}} - \sqrt{2006+\sqrt{2005}} \right) = $$ $$= \frac1{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}} - \frac{1 + \sqrt{2005} - \sqrt{2006}}{\sqrt{2005+\sqrt{2006}} + \sqrt{2006+\sqrt{2005}}} > 0,$$ так как первая дробь больше второй. Действительно, числитель первой дроби больше числителя второй, а знаменатель – меньше.
Решение 2
Пусть $n = 2005$, тогда требуется сравнить следующие числа: $A = \sqrt{n+1} + \sqrt{n + \sqrt{n+1}}$ и $B = \sqrt{n} + \sqrt{n + 1 + \sqrt{n}}$. Оба числа положительны, и $$A^2 = 2n+1 + \sqrt{n+1} + 2 \sqrt{n(n+1) + (n+1) \sqrt{n+1}}$$ больше, чем $$B^2 = 2n+1 + \sqrt{n} + 2 \sqrt{n(n+1) + n \sqrt{n}}.$$ Следовательно, $A > B$.
Ответ
Первое число больше.
