|
|
 |
Условие
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.
Решение
Докажем вспомогательное утверждение: через точку внутри окружности, отличную от центра, можно провести не более двух хорд равной длины.
"Алгебраическое доказательство".
Пусть через точку Z проходят три хорды длины a. Для каждой из них произведение отрезков, на которые их делит точка Z, постоянно и равно, допустим, m. Расмотрим одну из хорд. Пусть точка Z делит эту хорду на отрезки длины x1 и x2. Тогда x1 + x2 = a, x1 * x2 = m, следовательно, числа x1 и x2 — корни уравнения x2 - ax + m = 0. Корнями того же уравнения будут длины отрезков, на которые точка Z разбивает остальные две хорды. Но у этого уравнения только два корня, а это означает, что каждая из хорд точкой Z разбивается в точности на отрезки длиной x1 и x2. Это значит, что окружность с центром Z радиуса x1 имеет с данной окружностью по крайней мере три общие точки. Тогда она обязана с ней совпадать, но Z — не центр исходной окружности. Противоречие.
"Геометрическое доказательство".
Равные хорды одной окружности опираются на равные дуги, поэтому они переводятся друг в друга поворотом вокруг центра O этой окружности. Следовательно, эти хорды равноудалены от точки O, поэтому касаются некоторой окружности с центром О. Из данной точки к данной окружности можно провести не более двух касательных.
Теперь обратимся к нашей задаче (см. рисунок). Рассмотрим симметрию относительно прямой OM. При этой симметрии окружность перейдёт сама в себя, а хорда AB — в некоторую хорду той же длины, проходящую через точку M. Этой хордой, в силу доказанного утверждения, является хорда QP. Из симметрии следует равенство углов:
