Задача 104098

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан равносторонний треугольник АВС. Точка К – середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причём  ВМ : МС = 1 : 3.  На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ – наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС?

Решение

Рассмотрим точку M', симметричную точке М относительно прямой АС. Согласно решению задачи 52489 Р – точка пересечения KМ' и АС. Так как
∠MPC = ∠M'PC = ∠KPA,  то треугольники МРС и КPA подобны по двум углам. Следовательно,  AP : CP = АК : CM = ½ : ¾ = 2 : 3.

Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2006
класс
Класс	10
задача
Номер	3