Задача 104100

Темы:    [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Решение

Рассмотрим четырехугольник АВСD (см. рисунок). Проведем диагональ ВD и введем обозначения: АВD = a; CBD = b; ADB = g; CDB = d. Тогда BАD = 180° - (a + g), BCD = 180° - (b + d).

Тогда по условию sin(a + g) + sin(b + d) = sin(a + b) + sin(g + d). Применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, получаем: 2 sin(a+b+g+d)/2 * cos(a-b+g-d)/2 = 2 sin(a+b+g+d)/2 * cos(a+b-g-d)/2. Разделив обе части равенства на выражение, отличное от нуля, получим: cos(a-b+g-d)/2 = cos(a+b-g-d)/2. Тогда по формуле разности косинусов -2 sin(a-d)/2 sin(g-b)/2 = 0. Следовательно, a = d или b = g, а это означает, что хотя бы две стороны данного четырехугольника параллельны.

Ответ

Параллелограмм или трапеция.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2006
класс
Класс	10
задача
Номер	5