|
|
 |
Условие
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть
из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку
x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько
прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.
Решение
Пусть f:[0;1] —> [0;1], f(x)=x/31/2 и g: [0;1] --> [0;1], g(x)=1-((1-x))/31/2 - функции, отвечающие прыжкам кузнечика. Область значений f - отрезок [0;1/31/2], область значений g - отрезок [1-(1/31/2);1]. Каждый из этих отрезков имеет длину 1/31/2, и вместе они покрывают отрезок [0;1].
Пусть n - некоторое натуральное число. Рассмотрим всевозможные функции h1 (h2 (...(hn(x))...)): [0;1] —> [0;1], где каждая функция hi - либо f, либо g. Легко видеть, что область значений каждой из этих функций есть отрезок длины (1/31/2)n . Докажем индукцией по n, что эти отрезки покрывают отрезок [0;1]. Для n=1 это утверждение уже проверено. Предположим, что области значений всевозможных функций h1 (h2 (...(hk-1(x))...)) покрывают отрезок [0;1]. Фиксируем любую из функций h1 (h2 (...(hk-1(x))...)). Область значений этой функции покрывается областями значений функций h1 (h2 (...(hk-1(f(x)))...)) и h1 (h2 (...(hk-1(g(x)))...)). Тем самым утверждение доказано.
Пусть теперь на отрезке [0;1] выбрана точка a. Рассмотрим интервал (a-0,01;
a+0,01) и покажем, что кузнечик сможет в него попасть. Выберем n столь большим,
чтобы было выполнено неравенство (1/31/2)n < 0,01. По
доказанному, можно выбрать функцию h1 (h2
(...(hn(x))...)) такую, что точка a принадлежит области ее значений.
Тогда вся область значений рассматриваемой функции (отрезок длины
(1/31/2)n ) лежит внутри интервала (a-0,01;a+0,01). Это
означает, что из любой точки отрезка [0;1] кузнечик попадет внутрь интервала
(a-0,01;a+0,01), выполнив последовательно прыжки, соответствующие функциям
hn, hn-1, ..., h1 .
Источники и прецеденты использования
