ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 105088
УсловиеИз имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn}, б) в) Решение Объясним, как можно действовать в пунктах а) и в). а) Применив к {n²} преобразование T, получим последовательность {2n + 1}. Вычитая I, получим {2n}; наконец разделив на 2I, получим {n}. в) Применив к последовательности an = n1999 + 1/n преобразование T2000, получим последовательность б) Докажем, что последовательность {n} получить нельзя. Для этого заметим, что все последовательности, которые можно получить из имеют вид где P и Q – многочлены с целыми коэффициентами. (В самом деле, исходная последовательность такой вид имеет. При почленном сложении, вычитании, умножении или делении последовательностей такого вида, очевидно, снова получится последовательность такого вида, а выбрасывание нескольких членов равносильно замене P(x)/Q(x) на P(x+r)/Q(x+r) для некоторого натурального r, что можно представить в требуемом виде, раскрыв все скобки в числителе и знаменателе.) Если в таком виде представляется последовательность {n}, то в таком виде представляется и последовательность, все члены которой равны . Но из равенства следует, что отношение старших коэффициентов многочленов P и Q равно , что невозможно. Противоречие. Ответа), в) Можно; б) нельзя. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|