Задача 105093

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Кубические многочлены ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Решение

Многочлен  P(x) = x³ – x² – x – 1  имеет корень  t > 1,  поскольку  P(1) < 0,  а  P(2) > 0.  Тогда  t³ = t² + t + 1 > t² + t.  Возьмём длины палочек равными t³, t², t. После первого отпиливания получим палочки с длинами t², t, 1. Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.

Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	11
задача
Номер	4