Задача 105106

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Натуральное число N в 999...99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

Решение

Ответ: такое число существует для любого k: N_k=9k·(10^k-1). Пусть 9k= s₁...s_t0...0 (s_t не равно 0, нулей на конце может и не быть). Проверим, что сумма цифр числа N_k равна 9k. Запишем разность чисел 9k·10^k и 9k, учитывая, что 9k<10^k при любом k:
 

-	s1s2...st-1	st	0...0	0	...	0	0	0...0
				s1	...	st-1	st	0...0
	s1s2...st-1	st-1	9...9	(9-s1)	...	(9-st-1)	(10-st)	0...0

 
В нижней строчке записано число N_k. Легко видеть, что сумма его цифр равна

s₁+...+s_t-1+9+...+9+(9+1)-s₁-...-s_t=9k.
в записи левой части k девяток)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	9
задача
Номер	5