Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков – белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и
коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
|
|
 |
Условие
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и
коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
Решение
Обозначим сумму очков, набранных i-м участником, через Si, а его коэффициент силы – через Fi.
а) Первый способ. Достаточно доказать, что Пусть S – среднее число набранных очков (такое число очков будет у игрока, завершившего все партии вничью). Пусть i-й игрок выиграл на di партий больше, чем проиграл (di может быть и отрицательным). Тогда
Si = S + ½ di. Si входит в сумму с коэффициентом – di, поэтому
(
, очевидно, равна нулю).
Второй способ. См. б).
б) Fi можно представить как алгебраическую сумму, куда Sj входит с плюсом, если i-й игрок выиграл у j-го, и с минусом, если проиграл (Fi = 0, если все партии i-го игрока – ничьи).
Заметим, что сумма всех произведений SiFi равна нулю (действительно, произведение SiSj возникает в этой сумме дважды: как часть суммы SiFi и как часть SjFj, причём с противоположными знаками). Так как все числа Si неотрицательны и не все равны нулю, то либо все Fi – нули, либо среди них есть числа разных знаков.
Ответ
а), б) Не могут.
Замечания
Баллы: 4 + 4
