|
|
 |
Условие
Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр числа
A2. Найдите все такие двузначные числа A.
Решение
Ответ: 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31.
Решение 1. Заметим, что A2<992=9801<9999. Поэтому сумма цифр A2 меньше 9*4=36. Так как она равна квадрату суммы цифр A, то сумма цифр A меньше 361/2=6, то есть меньше или равна 5. Остаётся 15 вариантов: 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 40, 41, 50, из которых условию удовлетворяют только 9 вариантов, указанных в ответе.
Решение 2. Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Заметим, что при сложении двух чисел "столбиком" возможен только перенос единицы в старший разряд, и каждый такой перенос уменьшает сумму цифр на 9. Поэтому сумма цифр суммы любого количества слагаемых не превосходит суммы цифр слагаемых. Как следствие, S(n)<n, так как n=1+1+...+1 (n единиц), причём равенство достигается лишь для однозначных чисел, ведь при прибавлении очередной единицы к сумме девяти единиц уже возникнет перенос. Кроме того, от дописывания справа нуля сумма цифр не меняется, то есть S(10n)=S(n).
Пусть искомое двузначное число A=ab=10a+b.
Тогда
S(A2)=S((10a+b)2)=S(100a2+10*2ab+b2)<
<S(100a2)+S(10*2ab)+S(b2)=S(a2)+S(2ab)+S(b2)<
<a2+2ab+b2=(a+b)2=(S(A))2,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a2,
2ab и b2 - однозначные числа (если это так, то при
сложении 100a2, 10*2ab и b2 переносов
не происходит, так как они содержат все свои ненулевые цифры в разных разрядах).
Итак, необходимо и достаточно, чтобы числа a2,
b2 и 2ab были меньше 10, то есть
1<a<3, 0<b<3 и
ab<4.
Отсюда находим все перечисленные в ответе варианты.
