ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105121
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр числа A2. Найдите все такие двузначные числа A.

Решение

Ответ: 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31.

Решение 1. Заметим, что A2<992=9801<9999. Поэтому сумма цифр A2 меньше 9*4=36. Так как она равна квадрату суммы цифр A, то сумма цифр A меньше 361/2=6, то есть меньше или равна 5. Остаётся 15 вариантов: 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 40, 41, 50, из которых условию удовлетворяют только 9 вариантов, указанных в ответе.

Решение 2. Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Заметим, что при сложении двух чисел "столбиком" возможен только перенос единицы в старший разряд, и каждый такой перенос уменьшает сумму цифр на 9. Поэтому сумма цифр суммы любого количества слагаемых не превосходит суммы цифр слагаемых. Как следствие, S(n)<n, так как n=1+1+...+1 (n единиц), причём равенство достигается лишь для однозначных чисел, ведь при прибавлении очередной единицы к сумме девяти единиц уже возникнет перенос. Кроме того, от дописывания справа нуля сумма цифр не меняется, то есть S(10n)=S(n).

Пусть искомое двузначное число A=ab=10a+b. Тогда
S(A2)=S((10a+b)2)=S(100a2+10*2ab+b2)<
<S(100a2)+S(10*2ab)+S(b2)=S(a2)+S(2ab)+S(b2)<
<a2+2ab+b2=(a+b)2=(S(A))2, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a2, 2ab и b2 - однозначные числа (если это так, то при сложении 100a2, 10*2ab и b2 переносов не происходит, так как они содержат все свои ненулевые цифры в разных разрядах). Итак, необходимо и достаточно, чтобы числа a2, b2 и 2ab были меньше 10, то есть 1<a<3, 0<b<3 и ab<4.

Отсюда находим все перечисленные в ответе варианты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .