Задача 105156

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Клепцын В.А.

Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений  ax² + bx + c = 0,  ax + bx – c = 0,  ax² – bx + c = 0,  ax² – bx – c = 0  оба корня – целые?

Решение

Легко видеть, что подходят  a = 1,  b = 5,  c = 6.

Ответ

Существуют.

Замечания

Указанный пример практически очевиден, но по большому счету дело в том, что  5² + 5² = 7² + 1².  Задача представления заданного числа в виде суммы двух квадратов хорошо изучена. Подробнее об этом можно прочитать в статье В. Сендерова и А. Спивака "Суммы квадратов и целые гауссовы числа").

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	10
задача
Номер	1