Задача 105165

Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Челноков Г.Р.

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

Решение

Примем некоторую точку окружности за начало отсчёта. Пусть a_i - длина дуги от начала отсчёта до i-й вишенки по часовой стрелке. Рассмотрим числа b_i=a_i-i. Из условия следует, что |b_m-b_k|<1 для любых m, k (достаточно рассмотреть две дуги, на которые m-я и k-я вишенки разбивают периметр торта). Пусть b_s - наименьшее из них, тогда 0<b_i-b_s<1 для любого i. Отсюда следует, что найдётся такое x, что x<b_i<x+1 для всех i. Очевидно, что разрез по радиусам, проведённым в точки с координатами x, x+1, ..., x+n-1, - искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	11
задача
Номер	4