Задача 105172

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на n%, где n – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?

Решение

  Заметим, что при повышении курса акций он умножается на  1 + ⁿ/₁₀₀,  а при понижении – на  1 – ⁿ/₁₀₀.  Если курс повторился после k повышений и l понижений, то  (100 + n)^k(100 – n)^l = 100^k+l.
  Так как правая часть чётна, то и левая часть должна быть чётна, значит, n чётно. По той же причине n кратно 5, то есть  n = 10m.  Подставив и сократив, получим  (10 + m)^k(10 – m)^l = 10^k+l.  Аналогично докажем, что m кратно 10, поэтому n делится на 100. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Замечания

Баллы: 8-9 кл.   5, 10-11 кл.   4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	67
Год	2004
вариант
Класс	8
задача
Номер	4