|
|
 |
Условие
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
Решение
Пусть 3n + 1 = a², 10n + 1 = b², где a, b ∈ N, и пусть p = 29n + 11 – простое число. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Перемножив указанные равенства, в результате получим 30n² + 13n + 1 = (ab)². Следовательно, 29n² + 11n = (ab)² – (n + 1)². Отсюда
np = (ab – n – 1)(ab + n + 1). Хотя бы один из множителей в правой части делится на p и потому не меньше p. Значит, ab + n + 1 ≥ p, откуда ab ≥ 28n + 10,
(ab)² ≥ 784n² + 560n + 100. С другой стороны, (ab)² = 30n² + 13n + 1, что противоречит предыдущему.
Второй способ. (9a + 2b)(9a – 2b) = 81a² – 4b² = 81(3n + 1) – 4(10n + 1) = 243n + 77 = 7(29n + 11) = 7p. Значит, 9a + 2b ≥ p > 29n. Так как 9a – 2b > 0, то
18a > 9a + 2b > 29n, откуда a > n, 3n + 1 = a² > n², n < 3. Непосредственно проверяется, что значения n = 1, 2 не подходят.
Замечания
1. Условие задачи выполнено, например, при n = 8, n = 96.
2. Подобрать числа x и y, для которых выполнено равенство x(3n + 1) – y(10n + 1) = 29n + 11, можно, решив систему уравнений 3x – 10y = 29, x – y = 11.
