|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и точки P и
Q, лежащие на его описанной окружности. Точку P отразили
относительно прямой BC и получили точку P_a. Точку
пересечения прямых QP_a и BC обозначим A'. Точки B'
и C' строятся аналогично. Докажите, что точки A', B' и
C' лежат на одной прямой.
Решение
Пусть P'a, P'b и P'c -- проекции точки P на прямые, содержащие стороны треугольника. Докажем, что эти точки лежат на одной прямой. Действительно,
и PP'cPbA вписанные. Полученная прямая называется прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC (см. рис.). Следовательно, точки Pa, Pb и Pc также лежат на одной прямой, проходящей в два раза дальше от точки P, чем прямая Симсона. Аналогичное утверждение верно и для Qa, Qb и Qc --точек, симметричных точке Q относительно сторон треугольника. Обозначим прямую, содержащую точки Pa, Pb и Pc, через lp, а прямую, содержащую точки Qa, Qb и Qc, --через lq. Рассматриваемые в задаче точки A', B' и C' можно определить как точки пересечения пар прямых PQa и QPa, PQb и QPb, PQc и QPb.
Пусть прямая, параллельная lq и проходящая через P, пересекает lp в точке X (см. рис.). Пересечение прямой, параллельной lp и проходящей через Q, с прямой lq обозначим через Y. Стороны треугольника PXPa соответственно параллельны сторонам треугольника QaYQ, а значит, эти треугольники гомотетичны. Прямые PQa, PaQ и XY должны проходить через центр этой гомотетии, то есть точку A'. Таким образом, точка A' лежит на прямой XY. Аналогично можно показать, что на этой прямой лежат точки B' и C'.
