Страница: 1
2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
[Прямая Симсона]
|
|
Сложность: 4- Классы: 10,11
|
Пусть u – точка на единичной окружности z
= 1 и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3.
а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам

б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10
|
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника
(или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
Точки
A,
B и
C лежат на одной прямой, точка
P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABP,
BCP,
ACP и точка
P лежат на одной окружности.
В треугольнике
ABC проведена биссектриса
AD
и из точки
D опущены перпендикуляры
DB' и
DC' на прямые
AC
и
AB; точка
M лежит на прямой
B'C', причем
DM
BC.
Докажите, что точка
M лежит на медиане
AA1.
а) Из точки
P описанной окружности треугольника
ABC
проведены прямые
PA1,
PB1 и
PC1 под данным (ориентированным)
углом

к прямым
BC,
CA и
AB соответственно (точки
A1,
B1
и
C1 лежат на прямых
BC,
CA и
AB). Докажите, что точки
A1,
B1
и
C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона
угла
90
o на угол

она повернется на угол
90
o -

.
Страница: 1
2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]