ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 56934

 [Прямая Симсона]
Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямая Симсона ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56935

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56936

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем  DM $ \perp$ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56937

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом $ \alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла  90o на угол $ \alpha$ она повернется на угол  90o - $ \alpha$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56938

Тема:   [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что  PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть $ \alpha$ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что  cos$ \alpha$ = PA/2R.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .