Задача 56938

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что  PA ^. PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть  — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что  cos = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен . Тогда  PA = 2R sin. Так как точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA₁ и A₁B₁ тоже равен . Поэтому  PA₁ = d /sin, а значит,  PA ^. PA₁ = 2Rd.
б) Так как  PA₁ BC, то  cos = sin = d /PA₁. Остается заметить, что  PA₁ = 2Rd /PA.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.089