ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56938
Тема:    [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что  PA . PA1 = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть $ \alpha$ — угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что  cos$ \alpha$ = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен $ \varphi$. Тогда  PA = 2R sin$ \varphi$. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен $ \varphi$. Поэтому  PA1 = d /sin$ \varphi$, а значит,  PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как  PA1 $ \perp$ BC, то  cos$ \alpha$ = sin$ \varphi$ = d /PA1. Остается заметить, что  PA1 = 2Rd /PA.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 9
Название Прямая Симсона
Тема Прямая Симсона
задача
Номер 05.089

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .