Информация о задаче

Задача 56937

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом $\alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90^o на угол $\alpha$ она повернется на угол 90^o - $\alpha$ .

Решение

а) Решение задачи 5.85 проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A₂ и B₂ прямых BC и AC таковы, что $\angle$ (PA₂, BC) = $\alpha$ = $\angle$ (PB₂, AC). Тогда $\triangle$ PA₁A₂ $\sim$ $\triangle$ PB₁B₂, поэтому точки A₁ и B₁ переходят в A₂ и B₂ при поворотной гомотетии с центром P, причем $\angle$ A₁PA₂ = 90^o - $\alpha$ — угол поворота.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.088