Задача 56935

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины отрезков PA, PB и PC; O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников BCP, ACP и ABP. Точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника O_aO_bO_c (или их продолжения). Точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой, поэтому точка P лежит на описанной окружности треугольника O_aO_bO_c (см. задачу 5.85, б)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.086