Условие
В треугольнике
ABC проведена биссектриса
AD
и из точки
D опущены перпендикуляры
DB' и
DC' на прямые
AC
и
AB; точка
M лежит на прямой
B'C', причем
DM 
BC.
Докажите, что точка
M лежит на медиане
AA1.
Решение
Пусть продолжение биссектрисы
AD пересекает описанную
окружность треугольника
ABC в точке
P. Опустим из точки
P
перпендикуляры
PA1,
PB1 и
PC1 на прямые
BC,
CA и
AB;
ясно, что
A1 — середина отрезка
BC. При гомотетии с центром
A,
переводящей
P в
D, точки
B1 и
C1 переходят в
B' и
C', а
значит, точка
A1 переходит в
M, так как она лежит на
прямой
B1C1 и
PA1|
DM.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Треугольники |
|
параграф |
|
Номер |
9 |
|
Название |
Прямая Симсона |
|
Тема |
Прямая Симсона |
|
задача |
|
Номер |
05.087 |
