Информация о задаче

Задача 52421

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

Подсказка

Пусть точка M лежит между точками A и B, а точки P и Q — по разные стороны от прямой AB. Если $\angle$ PMA = $\angle$ QMB, то точки P, M и Q лежат на одной прямой.

Решение

Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P₁, P₂, P₃ — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₁MA.

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₂MC = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C.

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁MP₂ = $\displaystyle \angle$ AMC.

Тогда

$\displaystyle \angle$ P₁MA = $\displaystyle \angle$ P₂MC.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₁MA.

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₂MC = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C.

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁MP₂ = $\displaystyle \angle$ AMC.

Тогда

$\displaystyle \angle$ P₁MA = $\displaystyle \angle$ P₂MC.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₁MA.

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₂MC = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C.

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ P₁MP₂ = $\displaystyle \angle$ AMC.

Тогда

$\displaystyle \angle$ P₁MA = $\displaystyle \angle$ P₂MC.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ P₁P₃A = $\displaystyle \angle$ P₂P₃C,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	83


олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 10.1