|
|
 |
Условие
На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.
Решение
Пусть A – вершина данного угла, O – фиксированная точка на биссектрисе, OBC – рассматриваемый равнобедренный треугольник (OB = OC) и M – середина стороны BC. Треугольник OBC может располагаться так, что AB = AC. При этом точка M лежит на биссектрисе AO, причём для любой точки M на биссектрисе AO, кроме точек A и O, можно построить равнобедренный треугольник OBC так, что M будет серединой отрезка BC. Таким образом, весь луч AO, кроме точек A и O, входит в искомое ГМТ.
Пусть теперь AB ≠ AC (см. рис.). Пусть D – точка, симметричная точке C относительно биссектрисы AO. Тогда D лежит на луче AB и OD = OC = OB. Опустим перпендикуляр OK на BD. Так как OB = OD, то BK = KD и, следовательно, KM – средняя линия треугольника BDC. Поэтому KM || DC и
KM ⊥ AO. Таким образом, в этом случае точка M обязана лежать на таком отрезке KL, что L и C лежат по одной стороне угла, OK ⊥ AB и KL ⊥ AO.
∠OKM = ∠BAO = α. Так как ∠BKO = ∠BMO = 90°, то точки B, K, M, O лежат на одной окружности. Отсюда ∠OBM = ∠OKM = α (как вписанные). Тогда ∠OBC = α = ∠OAC и, следовательно, точки A, C, O, B лежат на одной окружности. Так как ∠BAO = ∠OAC = α, то равны хорды BO и OC. Таким образом, треугольник OBC – равнобедренный и BM = MC, то есть M входит в искомое ГМТ.
Ответ
Биссектриса угла без его вершины и фиксированной точки, а также отрезок, соединяющий основания перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки на стороны угла (без концов). На рисунке это луч AO без точек A и O и отрезок KL без точек K и L.
