Задача 107621

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Условие

Каких чисел больше среди всех чисел от 100 до 999: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних?

Решение

Заметим, что если у числа a средняя цифра больше обеих крайних, то у числа  999 – a  средняя цифра меньше обеих крайних. Поэтому среди чисел от 100 до  999 – 100 = 899  одинаковое количество чисел с наибольшей средней цифрой и с наименьшей средней цифрой (их можно разбить на пары). Но остались ещё числа от 900 до 999. Ясно, что среди них нет чисел с наибольшей средней цифрой, но есть с наименьшей, например 901. Поэтому больше тех чисел, у которых средняя цифра меньше обеих крайних.

Ответ

Тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Дата	1996
Название	конкурс по математическим играм
Задача
Номер	4