ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107700
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Доказательство от противного ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.


Решение

Предположим противное: ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Рассмотрим длины отрезков в сантиметрах по возрастанию:
l1 = l2 = 1 ≤ l3l4 ≤ ... ≤ l10 = 50.  Так как из трёх самых коротких отрезков нельзя составить треугольник, то  l3l1 + l2 = 2.  Аналогично
l4l2 + l3 ≥ 1 + 2 = 3.  Далее,  l5 ≥ 2 + 3 = 5,  l6 ≥ 3 + 5 = 8,  l7 ≥ 5 + 8 = 13,  l8 ≥ 8 + 13 = 21,  l9 ≥ 13 + 21 = 33,  l10 ≥ 21 + 33 = 55.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2000
Название конкурс по математике
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .