Задача 107728

Темы:    [ Вписанные многогранники ] [ Выпуклые тела ] [ Перестройки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)

Решение

Приведём пример невыпуклого многогранника, вписанного в сферу. Возьмём правильный октаэдр, опишем вокруг него сферу. Теперь возьмём две его соседние грани ABC и BCD, удалим их вместе с ребром ВС, а вместо этого добавим ребро AD и грани ABD и ACD. Отрезок ВС больше не принадлежит фигуре, поэтому она невыпуклая. Но вершины у этого многогранника, те же, что и у правильного октаэдра. Следовательно, многогранник вписанный.
Можно было действовать следующим образом. Возьмём куб и проделаем в нём "дырку" в виде прямоугольного параллелепипеда (сквозь две параллельные грани куба). Затем восемь точек, краёв "дырки", соединим рёбрами с ближайшими вершинами куба и "поднимем" ("опустим") их на сферу, описанную вокруг куба.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2002
Название	конкурс по математике
Задача
Номер	7