Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Докажите, что система уравнений
x1 – x2 = a, x3 – x4 = b, x1 + x2 + x3 + x4 = 1
имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1.
РешениеЧисло рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не
проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может
равняться 96,
в) но не может равняться 100.
РешениеДва игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто-то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим.
Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) У каждого по две горошины;
б) У каждого по три горошины;
в) У каждого по десять горошин;
г) Общий случай: у каждого по N горошин.
РешениеШеренга солдат-новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, остальные – направо. Оказалось, что в затылок соседу смотрит в шесть раз больше солдат, чем в лицо. Затем по команде «кругом» все развернулись в противоположную сторону. Теперь в затылок соседу стали смотреть в семь раз больше солдат, чем в лицо. Сколько солдат в шеренге?
РешениеНайти все решения системы уравнений x(1 – 2–n) + y(1 – 2–n–1) + z(1 – 2–n–2) = 0, где n = 1, 2, 3, 4, ...
РешениеДвое играют в следующую игру: имеется две кучи конфет. Играющие делают ход по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из куч, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучу, так как там всего одна конфета, то он её съедает и выигрывает. Вначале в кучах было 33 и 35 конфет. Кто выиграет, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?
РешениеИмеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Решениеа) На столе лежат 111 спичек. Маша и Даша по очереди берут со стола по несколько спичек, но не больше десяти за один раз. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто победит при правильной игре?
б) На полу лежат три кучки - из 3, 4 и 5 спичек. Теперь Маша и Даша за один раз могут взять любое количество спичек, но только из одной кучки. Кто выиграет на этот раз?
РешениеВ коробке лежит 300 спичек. За ход разрешается взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
РешениеРешить систему уравнений с n неизвестными
РешениеРешить систему уравнений:
x1 + 12x2 = 15,
x1 – 12x2 + 11x3 = 2,
x1 – 11x3 + 10x4 = 2,
x1 – 10x4 + 9x5 = 2,
x1 – 9x5 + 8x6 = 2,
x1 – 8x6 + 7x7 = 2,
x1 – 7x7 + 6x8 = 2,
x1 – 6x8 + 5x9 = 2,
x1 – 5x9 + 4x10 = 2,
x1 – 4x10 + 3x11 = 2,
x1 – 3x11 + 2x12 = 2,
x1 – 2x12 = 2.
Решение
Задачи
Задача 65650 |
|
|
В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?
|
|
Решение |
Задача 64863 |
|
|
Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)
|
|
|
Решение |
Задача 107728 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 107833 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110756 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
