Информация о задаче

Задача 107833

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Решение

Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ , заданные уравнениями x = 0, y = 0 и z = 0 соответственно. Рассмотрим шар B, заданный неравенством

x² + y² + z² $\displaystyle \le$ 1.

Его проекция на плоскость $\alpha$ — круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим его C₁), который задается неравенством

x² + y² $\displaystyle \le$ 1.

Аналогично определим цилиндры C₂ и C₃, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях $\beta$ и $\gamma$ соответственно.

Пусть C — пересечение цилиндров C₁, C₂ и C₃. Мы утверждаем, что C — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.

Покажем, что проекции тела C на плоскости $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — круги. Рассмотрим, например, плоскость $\alpha$ . Проекция тела C на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра C₁ совпадает с единичным кругом, а C содержится в C₁. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле C, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела C на плоскость $\alpha$ содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.

Осталось доказать, что тело C не является шаром. Точка $\Bigl($ ${\frac{\sqrt2}{2}}$ , ${\frac{\sqrt2}{2}}$ , ${\frac{\sqrt2}{2}}$ $\Bigr)$ содержится в каждом из цилиндров C₁, C₂ и C₃ (например, x² + y² = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{1}{2}}$ $\le$ 1), так что эта точка содержится в C. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно

$\displaystyle \sqrt{\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^2}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac32}$ > 1.

Поэтому C $\ne$ B.

Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли C оказаться шаром, отличным от B? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела C на плоскости $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ такие же как у шара B, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).

Второй способ. [набросок] Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка A сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке A обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	10
задача
Номер	1